股份有限公司2014年年度股东大会决议公告

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已知数列an是等差d=1的等差数列，Sn=a1^2+a2^2+....+an^2。

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

如何求得呢？

观察结果和为n的3次方。我们可以通过n^3来求得。

（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1

（n+1）^3 - n^3=3n^2+3n+1

n^3 -（n-1）^3=3n^2+3n+1

……

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

将以上等式左右相加，得

(n+1)^3-1=3（1^2+2^2+3^2+....+n^2）+3（1+2+……+n）+n

将（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，1+2+……+n=n(n+1)/2代入上式

求得1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

拓展：

已知数列an是等差d的等差数列，Sn=a1^2+a2^2+....+an^2

an^2=(a1+(n-1)d)^2=a1^2+2a1(n-1)d+((n-1)d)^2

Sn=na1^2+2a1d(1+2+...+(n-1))+d^2(1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2)

=na1^2+n(n-1)a1d+d^2(n-1)n(2n-1)/6

当首项为1，公差为1时就变成了前n个自然数的平方和。

你学会了吗？快来练习一下吧

练习：求1×2+2×3+……+99×100